그람-슈미트 직교화(Gram-Schmidt Orthogonalization)

출처: 부스트코스-인공지능을 위한 선형대수

수강일시:2021.01.07

 

 

linearly independent하지만 orthogonal 하지는 않은 factor들에 대해 직교화를 통해 영향을 주지 않도록 만들고자 한다. 이러한 방식을 직교화라고 하는데 이 장에선 그람슈미트 직교화 방법에 대해 공부하고자 한다.

[3 6 0] dot [1 2 2] != 0

normalize x1 =v1= [3/sqrt(45) 6/sqrt(45) 0]T

x2와 v1의 내적 = 15/sqrt(45)

v2' = x2- 15/sqrt(45) * v1 =[0 0 2]T

normalize v2' = v2=[0 0 1]T

 

 

v1 v2를 이용해 어떠한 matrix를 곱해 원래 벡터 x1 x2를 만들고자 한다.

 

 

 

v1은 x1을 normalize 한 것이므로 1번에는 sqrt(45) 2번에는 0이 된다.

v2는 x2를 사영에 x1을빼고 normalize 한 것이었다.

따라서 1의 오른쪽에는 15/sqrt(45) 2의 오른쪽에는 2가 된다

 

 

 

 

 

 

두개가 아닌 여러 column이 있을때 Q의 첫번째 column은 normalize 한 계수로 1행이채워지고 나머지는 0이된다

두번째행은 첫번째에 사영하고 normalize했으므로 두개행만채워진다

... 이러한 방식으로 채워나가면 곱하는 행렬이 위쪽삼각행렬이 된다.