영공간(Null Space)과 직교여공간(Orthogonal Complement)

출처: 부스트코스-인공지능을 위한 선형대수

수강일시:2021.01.07

 

이번 시간에서는 고유값과 고유벡터의 개념과 이를 구하는 과정을

벡터 공간과 결부시켜 더 깊히 이해하기 위해 새로운 벡터 공간의 개념을 배워보도록 하겠습니다. 

 

영공간

 

개념적으로 본다면 행렬A에대해 각 row vector에 수직인 벡터집합을 nul A라고 한다고 볼 수 있다.

즉 A= [[1,2],[3,4],[5,6]] dot [x1,x2]T = 0 일때 [x1,x2]T는 모든 1,2 3,4 5,6에 대해 모두 수직이 되는 공간이다.

 

이러한 nonzero x가 존재하려면 먼저 A의 row vector가 linearly dependent함이 선행되어야 한다.

그 이유는 row vector가 linearly independent해서 fully span한다면 x가 row vector들과 orthogonal할 수 없기 때문이다.

 

orthogonal complement

 

 

Ax=0을 만족하는 x들의 공간 즉 Nul A의 차원을 생각해 보자

이는 전체차원에서 A의 row vector들이 span하는 차원의 수(dependent한 vector의 수)를 뺀 것이 된다.

 

col space에 대해도 transpose하여 동일한 방식으로 생각해 볼 수 있다.

 

 

NULL space는 sub space이다.

x와 y라는 벡터가 Nul A의 원소일때, ax+by 또한 Nul A에 포함된다.

x는 A의 모든 row vector에 대해 수직이고 y또한 마찬가지이다.

이러한 x y에 상수배를 하고 더하여도 동일하게 수직이 되므로 닫혀있다고 할 수 있다.

 

따라서 Null space는 subspace이다.